(资料图片仅供参考)

1、我可以给你举一个这样具有通用性的反例。

2、假设级数∑AnX^n 的收敛半径为R，则该级数的级数的偶数项构成的级数必然收敛，且收敛半径为R （同理该级数的奇数项构成的级数也必然收敛，且收敛半径为R ），以这个偶数项级数作为幂级数，则有A2n≠0，A2n+1=0 ，显然|A2n+1/A2n|=0 ，|A2n+2/A2n+1|不存在 ，于是对于该幂级数也必然有 lim|An+1/An|不存在，但是该幂级数是收敛的，且收敛半径是R 。

3、实际上取任意有限个收敛半径为R的幂级数的某些项交错组成新的幂级数，这个新的幂级数的收敛半径仍然为R，但是 lim|An+1/An|却不一定存在 。

4、这就是这句话蕴含的深刻内涵！定理1 （阿贝尔第一定理） 1） 若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在 都收敛。

5、 2） 若幂级数①在x1发散，则幂级数①在 都发散。

6、 定理2：有幂级数①，即 ，若 则幂级数①的收敛半径为 定理3（阿贝尔第二定理） 若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间 都一致收敛。

7、 定理4 若幂级数 与 的收敛半径分别是正数 r1与r2，则r1= r2 定理5 若幂级数 的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间 连续。

8、 定理6 若幂级数 的收敛半径r>0,则 它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即 定理7 若幂级数 的收敛半径r>0,则 则它的和函数在区间 (-r , r) 可导，且可逐项微分。

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